Nos dias atuais um dos objetos matemáticos mais utilizados são as matrizes. Elas possuem aplicações em quase todas as áreas do conhecimento, passando pela genética, análise de dados estatísticos, cálculos de engenharia, computação gráfica e muitas outras. Assim sendo, elas despertam um interesse próprio na medida em que quanto mais informações se sabe sobre elas, mais podemos explorar todo o seu potencial de aplicabilidade. Nosso trabalho está inserido no contexto do estudo das PI-álgebras. Esta importante área da Matemática se preocupa em estudar as álgebras que possuem identidade polinomial (abreviaremos por IP). Indicamos a referência [1] para mais detalhes desta área. Nosso objetivo é obter resultados a cerca da existência de certas classes de IP's para um determinado tipo de álgebra. Dado um inteiro n, denote por A_n o grupo das permutações pares no conjunto {1,2,…,n}. Um polinômio em variáveis não comutativas f(x_1, x_2, …, x_n), escrito como combinação linear sobre os complexos de monômios “embaralhados” segundo as permutações de A_n, é uma A-identidade polinomial de grau n para uma álgebra R se f(a_1, a_2, …, a_n)=0 para quaisquer elementos a_1, a_2, …, a_n da álgebra R. Considere agora a importante álgebra matricial, denotada por M_11(E). Duas importantes perguntas a serem feitas são: qual o grau mínimo para uma A-identidade de M_11(E)? É possível encontrar de maneira explícita uma tal identidade? Denote por P_n^A como o conjunto de todos os polinômios descritos acima. Ao invés de procurar por polinômios em P_n^A (que é um espaço muito “grande” com n!/2 elementos), usamos uma decomposição de P_n^A em espaços menores. Esses espaços, que denotamos por I_{lambda}, estão associados a partições lambda do inteiro n. Em seguida, encontramos uma base para I_{lambda} usando uma modificação de técnica já existente. Como os polinômios são muito grandes, implementamos um roteiro no sistema de álgebra computacional GAP [2] para produzir um sistema linear cuja (possível) solução é o polinômio desejado. Comparando nosso resultado com outros já obtidos na literatura, concluímos que tanto M_11(E) quanto a álgebra das matrizes “convencionais” possuem o mesmo grau mínimo para A-identidades. Além disso há uma simetria entre as identidades encontradas nesses dois trabalhos. Esperamos que tal avanço contribua para a compreensão das identidades das álgebras matriciais de ordem maior, tópico que há inúmeras questões em aberto. Os resultados do nosso trabalho foram publicados em um artigo em revista internacional. Provamos no artigo que a álgebra M_11(E) não admite A-identidades de grau 5 ou menor. E encontramos explicitamente um exemplo de A-identidade de grau 6 para a álgebra M_11(E). É um polinômio formado por 144 monômios de grau 6 cada um que está associado à partição (4,2) do inteiro 6.

Palavras-Chave: Álgebra; GAP; Identidade polinomial; Matrizes.

Referências

[1] V. Drensky, Free algebras and PI-algebras, Graduate Course in Algebra, Springer, Singapore, (1999).

[2] The GAP Group, 2002. GAP - Group, Algorithms and Programming version 4.3. Disponível em: <http://www.gap-system.org>.